地圖會說話

先前我曾在一篇論文 (註) 中指出，民進黨支持度的擴張呈現空間聚集型態。轉眼間，現在的問題已經變成：民進黨支持度的衰退是否也呈現空間聚集型態？如果答案是肯定的，那麼意味著不管是擴張還是衰退，只要是政黨支持度的變動，都具有空間效應。如此一來，故事就更為完整了。

上圖呈現 2004~2008 年總統選舉民進黨支持度的變動情形。顏色愈深，代表衰退的幅度愈大。必須提醒的是，「支持度」的定義與一般人慣用的「得票率」不大一樣。兩者的差異在於：支持度的分母是具有投票權的「選舉人數」，而得票率的分母則是「有效票數」。為何這裡不採用得票率？因為得票率排除了「不投票」與「投廢票」的人口。然而，「不投票」與「投廢票」事實上也是政治表態。我們若進一步將支持度的定義展開，

支持度 = 得票數 / 選舉人數
= (得票數 / 有效票數) * (有效票數 / 投票數) * (投票數 / 選舉人數)
= 得票率 * 有效票率 * 投票率

由此可見，支持度也考慮了「不投票」與「投廢票」的人口。換言之，支持度是某政黨能夠從選民中挖到選票的真實比例。

上圖顯示，民進黨支持度的衰退仍然具有地區差異。相較於全國，民進黨在東部或山地鄉顯得「抗跌」。不過別忘了，當民進黨支持度擴張時，這些地方也「凍漲」。這意味著，東部或山地鄉的投票傾向相當「僵固」，游離選票很少。除了上述地方，民進黨在臺北、高雄、雲嘉沿海等地也是抗跌的。有些人看到民進黨在高雄市輸掉，就怪罪高雄市民「無情」，這完全搞混了「整體衝擊」(global shock) 與「地方衝擊」(local shock)。就整體衝擊而言，民進黨面臨全國性的衰退；就地方衝擊而言，高雄市減緩衰退的幅度。換言之，高雄市民已經對民進黨夠友善了。那麼高雄市為什麼會輸掉？這是由兩個問題所組成的。一個是：民進黨為何面臨全國性衰退？另一個是：高雄市為何能減緩衰退幅度？

下圖呈現 2004~2008 年總統選舉國民黨支持度的變動情形。顏色愈深，代表擴張的幅度愈大。

兩張圖對照，我們可以發現：在臺南縣，民進黨支持度衰退嚴重，但國民黨支持度的擴張並沒有特別多。這意味著，2004 年陳水扁拿到的「鄉親票」，很多沒有繼續投給民進黨，但也沒有轉投國民黨。在中臺灣，民進黨衰退的幅度非常大，而且流失的選票可能有不小比例跑到國民黨。在桃竹苗地區，民進黨衰退的幅度略小於中臺灣，但流失的選票可能大多跑到國民黨。

以上描述大概是一般人最感興趣的部分。不過，我更關心的現象仍然是：為何政黨支持度的變動在地理空間中聚集？也就是說，若一個鄉鎮嚴重衰退時，其鄰近鄉鎮通常也嚴重衰退；若一個鄉鎮抗跌時，其鄰近鄉鎮通常也抗跌。尤其，當我們控制各鄉鎮的人口結構後，這樣的現象依舊存在。我認為，這是因為鄰近鄉鎮的政黨支持度互相影響。先前我已談過很多類似的議題，像是：生育率、日語普及率。這篇文章如果老調重談，未免顯得無聊。因此，以下將談得更深入一點。

「控制各鄉鎮的人口結構後，鄰近鄉鎮間的政黨支持度互相影響」，正式的表達方式為：

Y = ρWY + Xβ + ε

其中，Y 為政黨支持度、X 為人口結構的矩陣 (n*k)、W 為定義空間關係的矩陣 (n*n)、ε 為變異齊一且獨立的誤差、β 為 X 的迴歸係數、ρ 稱為自迴歸係數 (autoregressive coefficient)。

經過移項整理後：

E (Y) = ((I - ρW)^-1)*Xβ

原先，xk 變動一單位時，E (y) 變動 βk 單位。現在，Xβ 前面出現一串東西，使得 xk 變動一單位時，E (y) 變動 ((I - ρW)^-1)*βk 單位，比原先還多。這串東西，稱為空間乘數 (spatial multiplier)。

對於等比級數還有印象的人，不難發現空間乘數正是無窮等比級數的型式。展開之後：

(I - ρW)^-1 = I + ρW + ((ρ)^2)*((W)^2) + ....

換言之，某鄉鎮對支持度的衝擊可影響其鄰近鄉鎮，後者受影響後又回過頭來影響前者，不斷循環下去，但影響力愈來愈小，直到收斂為止。當然，ρ 必須小於 1，否則這個過程不會收斂。

對於數學型式難以體會的人，可以假想一個極度簡化的例子。假設某國只有 A、B 兩個互相鄰近的鄉鎮，當其中一個鄉鎮的政黨支持度變動 1% 時，另一個鄉鎮的政黨支持度會額外變動 0.5% (ρ = 0.5)。假設 A 鄉鎮遭到火星人入侵，成立火星黨，而且火星人 100% 支持火星黨。換言之，當火星人的比例增加 1% 時，火星黨的支持度應該增加 1% (β = 1)。如果 A 鄉鎮的火星人比例是 1%，那麼 A 鄉鎮的火星黨支持度也是 1% 嗎？答案是：不只如此。

B 鄉鎮雖然沒有火星人，但一些 B 鄉鎮人感受到 A 鄉鎮的火星黨支持度上升了，也趕流行去支持火星黨。於是，B 鄉鎮的火星黨支持度多了 0.5% (1% * 0.5)，並回過頭來使 A 鄉鎮多了 0.25% (1% * 0.5 * 0.5)；然後，A 鄉鎮又使 B 鄉鎮多了 0.125% (1% * 0.5 * 0.5 * 0.5)，依此類推。這正是一個等比級數。那麼，最後 A 鄉鎮的火星黨支持度有多少呢？

1% / (1 - 0.25) = 1.33%

B 鄉鎮雖然沒有火星人，但因為靠近火星人，也有人支持火星黨：

0.5% / (1 - 0.25) = 0.67%

假設 B 鄉鎮也被火星人入侵，而且火星人比例跟 A 鄉鎮一樣，也是 1%。如此一來，兩個鄉鎮的火星黨支持度都是：

1.33% + 0.67% = 2%

由此可見，雖然火星人的比例只有 1%，但最後火星黨的支持度卻被放大到 2%，這就是空間乘數的威力。

現在假想另一種情況。假設火星人發現地球人也支持火星黨，覺得很感動，於是 10% 火星人跑票給地球黨。那麼，火星黨的支持度也會減少 0.1% 嗎 (1% * 10%)？答案仍是：不只如此。空間乘數會將 0.1% 的變動放大成 0.2%，換言之，火星黨的支持度最後剩下 1.8%。

這個例子告訴我們兩件事：

1. 當鄰近鄉鎮的政黨支持度互相影響時，一個小小的衝擊，可能會被放大成好幾倍，並擴散到其他地方去。

2. 空間乘數的大小，與該鄉鎮的地理位置有關。愈接近衝擊的起始點，空間乘數愈大。因此政黨支持度的變動會產生空間聚集現象。


註：Spatial Variation of the DPP's Expansion between Taiwan's Presidential Elections, Issues & Studies, 42, 4 (2006): 1-22.